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 ... ... @@ -265,3 +265,4 @@ \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\tA}{\mathbb{A}}
 ... ... @@ -147,15 +147,27 @@ Determine the set of all direct successor states of a given set of states $Q$ by \subsubsection{Fixed-Point Iteration} TODO Starte mit dem Initialzustand und bestimme die Menge der innert einem oder mehreren Schritten erreichbaren Zustände. \begin{align} Q_0 &= \{q_0\}\\ Q_{i+1} &= Q_i \cup \{ q' | ∃ q \text{with } \psi_Q(q) \cdot \psi_\delta(q,q')\}\\ \shortintertext{oder} \psi_{Q_{i+1}}(q') &= \psi_{Q_i}(q) + (∃q : \psi_{Q_i}(q) \cdot \psi_\delta (q, q'))\\ \intertext{wiederhole den Iteratiosschritt solange, bis gilt:} Q_{i+1} &= Q_i =: \hat{Q} \end{align} Dann beschreibt $\hat{Q}$ die Menge aller erreichbaren Zustände. \subsubsection{Comparison of Finite Automatas} We define the following characteristic functions for two automatas $A$ and $B$ with states $x_A$, $x_B$ and outputs $y_A= w(x_A)$, $y_B= w(x_B)$ respectively and the shared input $u$: \begin{align} \intertext{transition function of $A$:} & ψ_r^A (x_A', x_A , u)\\ \intertext{joint transition function:} ψ_f (x_A , x_A' , x_B , x_B' ) = & (∃u : ψ_r^A (x_A , x_A' , u) \cdot ψ_r^B (x_B , x_B' , u))\\ \intertext{joint function of reachable states:} & ψ_X (x_A , x_B) \\ \intertext{joint function of reachable output:} ψ_Y (y_A , y_B) = &~(∃ x_A, x_B : \psi_X(x_A,x_B) \cdot \psi_w^A(x_A, y_A) \cdot \psi_w^B(x_B, y_B)\\ ψ_Y (y_A , y_B) = &~(∃ x_A, x_B : \psi_X(x_A,x_B) \cdot \psi_w^A(x_A, y_A) \cdot \psi_w^B(x_B, y_B)) \end{align} \begin{fsatz} ... ... @@ -165,7 +177,34 @@ We define the following characteristic functions for two automatas $A$ and $B$ w \end{align} \end{fsatz} \subsection{Computation Tree Logic (CTL)} \begin{fdef} Sei $\phi$ eine Eigenschaft eines Systems. Dann definieren wir: \begin{align} \text{E}\phi :\quad& \text{There exists at least one path from the current}\\ & \text{state where $\phi$ holds.}\\ \text{X}\phi :\quad &\text{$\phi$ has to hold at the next state.}\\ \text{G}\phi :\quad & \text{$\phi$ has to hold on the entire subsequent path.}\\ \phi_1 \text{U}\phi_2 :\quad & \text{$\phi_1$ has to hold at least until at some state $\phi_2$ holds.} \end{align} \end{fdef} \begin{fsatz} There are more quantifiers, but they can be replaced by the above ones: \begin{align} \text{F} \phi :\quad & \text{$\phi$ eventually has to hold (somewhere on the subsequent path).}\\ \text{A} \phi :\quad & \text{$\phi$ has to hold on all paths starting from the current state.} \end{align} \end{fsatz} \subsubsection{Beispiele} Zustand ist schwarz $\equiv$ Eigenschaft $p$ ist erfüllt.\\ Zustand ist rot $\equiv$ Eigenschaft $q$ ist erfüllt.\\ \includegraphics[width=\columnwidth]{fig/ctl-agp.png} \includegraphics[width=\columnwidth]{fig/ctl-axp.png} \includegraphics[width=\columnwidth]{fig/ctl-egp.png} \includegraphics[width=\columnwidth]{fig/ctl-exp.png} \subsection{Petri-Netze} Im Gegensatz zu hierarchischen State Maschinen (State Charts), Zustandsübergange in einem Petri-Netz sind asynchron. Die Reihenfolge der Übergänge ist zum Teil unkoordiniert. Sie ist gegeben durch eine Teilreihenfolge. \\ Petri-Netze können deshalb dafür benutzt werden verteilte gleichzeitige Prozesse zu modellieren. ... ...
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