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...@@ -274,19 +274,19 @@ Um zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist, muss man zeigen, dass für ...@@ -274,19 +274,19 @@ Um zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist, muss man zeigen, dass für
\item Assumption: $L$ is regular. \item Assumption: $L$ is regular.
\item $L$ regular $\Rightarrow$ $∃ p∈ℕ \quad ∀ w ∈ L$ with $|w| \geq p$: $w$ can be pumped. \item $L$ regular $\Rightarrow$ $∃ p∈ℕ \quad ∀ w ∈ L$ with $|w| \geq p$: $w$ can be pumped.
\item Find a $w ∈ L$ s.t. $|w|\geq p$. \item Find a $w ∈ L$ s.t. $|w|\geq p$.
\item Consider all splits into $w=xyz$ with $|xy| \geq p$. \item Consider all splits into $w=xyz$ with $|xy| \geq p$.
\item Use the Pumping Lemma and show, that for any possible split the condition $xy^n z ∈ L \quad ∀ n∈ℕ$ does not hold. \item Use the Pumping Lemma and show, that for any possible split the condition $xy^n z ∈ L \quad ∀ n∈ℕ$ does not hold.
\item $\Rightarrow$ $L$ is not regular. \item $\Rightarrow$ $L$ is not regular.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\subsubsection{Beweis von Nicht-Regularität} \subsubsection{Beweis von Nicht-Regularität}
Die folgende Argumentation basiert auf der Geschlossenheit der regulären Sprachen und Operatoren, sie funktioniert nur in diese Richtung. Die folgende Argumentation basiert auf der Geschlossenheit der regulären Sprachen und Operatoren, sie funktioniert nur in diese Richtung.
\begin{fsatz} \begin{fsatz}
Falls $L_1$ und $L_2$ regulär sind, so sind es auch die folgenden Sprachen: Falls $L_1$ und $L_2$ regulär sind, so sind es auch die folgenden Sprachen:
\begin{align*} \begin{align*}
L& =L_1 \cup L_2 & L=\overline{L_1}\\ L& =L_1 \cup L_2 & L=\overline{L_1}\\
L& =L_1 \cap L_2 & L=L_1^*\\ L& =L_1 \cap L_2 & L=L_1^*\\
L &=L_1 \cdot L_2 L &=L_1 \cdot L_2
\end{align*} \end{align*}
\end{fsatz} \end{fsatz}
Falls entweder $L_1$ oder $L_2$ oder beide nicht regulär sind, so können wir nicht auf die nicht Regularität von $L$ schliessen oder umgekehrt. \\ Falls entweder $L_1$ oder $L_2$ oder beide nicht regulär sind, so können wir nicht auf die nicht Regularität von $L$ schliessen oder umgekehrt. \\
Ebenso, dass $L$ regulär ist, bedeutet nicht, dass $L_1$ und $L_2$ auch regulär sind. Ausnahme: $\overline{L_1}$ Ebenso, dass $L$ regulär ist, bedeutet nicht, dass $L_1$ und $L_2$ auch regulär sind. Ausnahme: $\overline{L_1}$
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