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......@@ -274,19 +274,19 @@ Um zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist, muss man zeigen, dass für
\item Assumption: $L$ is regular.
\item $L$ regular $\Rightarrow$ $∃ p∈ℕ \quad ∀ w ∈ L$ with $|w| \geq p$: $w$ can be pumped.
\item Find a $w ∈ L$ s.t. $|w|\geq p$.
\item Consider all splits into $w=xyz$ with $|xy| \geq p$.
\item Use the Pumping Lemma and show, that for any possible split the condition $xy^n z ∈ L \quad ∀ n∈ℕ$ does not hold.
\item $\Rightarrow$ $L$ is not regular.
\item Consider all splits into $w=xyz$ with $|xy| \geq p$.
\item Use the Pumping Lemma and show, that for any possible split the condition $xy^n z ∈ L \quad ∀ n∈ℕ$ does not hold.
\item $\Rightarrow$ $L$ is not regular.
\end{enumerate}
\subsubsection{Beweis von Nicht-Regularität}
Die folgende Argumentation basiert auf der Geschlossenheit der regulären Sprachen und Operatoren, sie funktioniert nur in diese Richtung.
\begin{fsatz}
Falls $L_1$ und $L_2$ regulär sind, so sind es auch die folgenden Sprachen:
\begin{align*}
L& =L_1 \cup L_2 & L=\overline{L_1}\\
L& =L_1 \cap L_2 & L=L_1^*\\
L &=L_1 \cdot L_2
\end{align*}
Falls $L_1$ und $L_2$ regulär sind, so sind es auch die folgenden Sprachen:
\begin{align*}
L& =L_1 \cup L_2 & L=\overline{L_1}\\
L& =L_1 \cap L_2 & L=L_1^*\\
L &=L_1 \cdot L_2
\end{align*}
\end{fsatz}
Falls entweder $L_1$ oder $L_2$ oder beide nicht regulär sind, so können wir nicht auf die nicht Regularität von $L$ schliessen oder umgekehrt. \\
Ebenso, dass $L$ regulär ist, bedeutet nicht, dass $L_1$ und $L_2$ auch regulär sind. Ausnahme: $\overline{L_1}$
......
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