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Commit 200ffcef authored by Theo von Arx's avatar Theo von Arx
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Add Abgeschlossenheit von Kontextfreien Sprachen

parent f5722cf3
......@@ -190,6 +190,33 @@ In anderen Wort: Für alle $w \in L$ mit $|w| \geq p$ muss gelten:
Falls keine solche Zahl $p$ existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei.
\subsection{Abgeschlossenheit von kontextfreien Sprachen}
\begin{fsatz}
Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter der
\begin{itemize}
\item Vereinigung
\item Konkatenation (Verkettung)
\item Durchschnittbildung mit regulären Sprachen
\end{itemize}
\end{fsatz}
\begin{fsatz}
Seien $L_1$ und $L_2$ kontextfreie Sprachen. Die folgenden Sprachen sind es nicht notwendigerweise:
\begin{enumerate}
\item Der Schnitt $L_3 = L_1\cap L_2$.
\item Das Komplement $L_4 = \overline{L_1}$.
\item Die Differenz $L_5 = L_1\setminus L_2$.
\end{enumerate}
Die Klasse der kontextfreien Klassen ist damit unter dem dem Schnitt, dem Komplement und der Differenz nicht abgeschlossen.
\end{fsatz}
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\item Die Sprachen $L_1 = \{1^m 2^n 3^n | m, n > 0\}$ und $L_2 = \{1^m 2^m 3^n | m, n > 0\}$
sind beide kontextfrei. Ihr Schnitt $L_3 = ( L_1 ∩ L_2 ) = \{ 1^k 2^k 3^k | k > 0 \} $ ist aber nicht
kontextfrei.
\item Da $L_1\cap L_2={\overline {{\overline {L_1}}\cup {\overline {L_2}}}}$ gilt, ist das Komplement ebenfalls nicht notwendigerweise kontextfrei.
\item Schreibe das Komplement als Differenz: $L_5 =\Sigma ^{*}\setminus L$
\end{enumerate}
% \subsection{Transducers}
% \begin{fdef}
......
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