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Commit 1ab75605 by Theo von Arx

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 ... @@ -15,8 +15,8 @@ ... @@ -15,8 +15,8 @@ % Part II % Part II \input{chapters/queueing.tex} \input{chapters/queueing.tex} \newpage \newpage \input{chapters/online.tex} \vfill \null \columnbreak \input{chapters/online.tex} % \vfill \null \columnbreak \input{chapters/onlineAlg.tex} \input{chapters/onlineAlg.tex} \newpage \newpage ... ...
 ... @@ -26,6 +26,37 @@ ... @@ -26,6 +26,37 @@ |A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B| |A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B| \end{align*} \end{align*} \subsection*{De Morgansche Regeln} {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} %<- modify value to suit your needs \center \begin{tabular}{|l|c|} \hline Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\ \hline 2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\ \hline Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\ \hline Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\ \hline Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\ \hline Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\ \hline Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\ \hline Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\ \hline Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\ \hline Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\ \hline De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular} } \section{Verschiedenes} \section{Verschiedenes} \paragraph*{Palindrom} \paragraph*{Palindrom} Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann. Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann. ... @@ -33,30 +64,3 @@ Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} ... @@ -33,30 +64,3 @@ Bsp:$\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$und$u^{reverse} = u \} \paragraph*{DFA überprüfen} \paragraph*{DFA überprüfen} Jeder FA braucht einen Start-State. \\ Jeder FA braucht einen Start-State. \\ DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet $\Sigma$ eindeutige Folgezustände. DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet $\Sigma$ eindeutige Folgezustände. \paragraph*{De Morgansche Regeln} \begin{tabular}{|l|c|} \hline Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\ \hline 2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\ \hline Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\ \hline Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\ \hline Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\ \hline Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\ \hline Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\ \hline Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\ \hline Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\ \hline Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\ \hline De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}\\\\\\
 ... @@ -158,17 +158,17 @@ Vorgehen: ... @@ -158,17 +158,17 @@ Vorgehen: Korollar: PDA $\approx$ CFG Korollar: PDA $\approx$ CFG \subsection{Kontext-sensitive Grammatiken} % \subsection{Kontext-sensitive Grammatiken} Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings. % Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings. \\ % \\ \begin{bsp} % \begin{bsp} \hspace*{0pt}\\ % \hspace*{0pt}\\ \includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp} % \includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp} \end{bsp} % \end{bsp} \textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite $\leq$ Länge der rechten Seite. % \textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite $\leq$ Länge der rechten Seite. \subsection{Tandem Pumping} \subsection{Tandem Pumping} ... @@ -191,19 +191,19 @@ In anderen Wort: Für alle $w \in L$ mit $|w| \geq p$ muss gelten: ... @@ -191,19 +191,19 @@ In anderen Wort: Für alle $w \in L$ mit $|w| \geq p$ muss gelten: Falls keine solche Zahl $p$ existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei. Falls keine solche Zahl $p$ existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei. \subsection{Transducers} % \subsection{Transducers} \begin{fdef} % \begin{fdef} Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist. % Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist. \end{fdef} % \end{fdef} \\ % \\ Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$ als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll) % Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$ als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll) \\ % \\ \begin{bsp} % \begin{bsp} \hspace*{0pt}\\ % \hspace*{0pt}\\ \includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers} % \includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers} \end{bsp} % \end{bsp} \subsection{Touring Maschine (TM)} \subsection{Touring Maschine (TM)} ... ...
 ... @@ -19,7 +19,7 @@ ... @@ -19,7 +19,7 @@ P(A \, | \, B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B \, | \, A)}{P(B)} P(A \, | \, B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B \, | \, A)}{P(B)} \] \] \paragraph*{Totale Wahrsheinlichkeit} \paragraph*{Totale Wahrscheinlichkeit} Seien $A_1, \ldots, A_n$ paarweise disjunkte Ereignisse und $B \subseteq A_1 \cup \ldots \cup A_n$. Dann gilt Seien $A_1, \ldots, A_n$ paarweise disjunkte Ereignisse und $B \subseteq A_1 \cup \ldots \cup A_n$. Dann gilt $\[ P(B) = \sum\limits_{j = 1}^n P(B \, | \, A_j) \cdot P(A_j) P(B) = \sum\limits_{j = 1}^n P(B \, | \, A_j) \cdot P(A_j) ... @@ -217,24 +217,24 @@  ... @@ -217,24 +217,24 @@  \subsection{Simple Random Walks} % \subsection{Simple Random Walks} Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\ % Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\ Sei G ein Graph mit m Kanten. Die station"are Verteilung \pi von einem random walk auf G ist gegeben durch: % Sei G ein Graph mit m Kanten. Die station"are Verteilung \pi von einem random walk auf G ist gegeben durch: \[\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m}$ % $\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m}$ Mit $\delta(u)$ Grad von $u$, respektiv die Anzahl Nachbarn. % Mit $\delta(u)$ Grad von $u$, respektiv die Anzahl Nachbarn. \begin{itemize} % \begin{itemize} \item Folglich gilt: $h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$. % \item Folglich gilt: $h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$. \item Die \textbf{cover time} $\text{cov}(v)$ ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von $G$ besucht wurden. % \item Die \textbf{cover time} $\text{cov}(v)$ ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von $G$ besucht wurden. \end{itemize} % \end{itemize} Sei $G = (V,E)$ ein Graph mit $n$ Knoten und $m$ Kanten. Dann gilt $\text{cov}(s) < 4m(n-1)$ $\forall s\in V$ (Startknoten).\\ % Sei $G = (V,E)$ ein Graph mit $n$ Knoten und $m$ Kanten. Dann gilt $\text{cov}(s) < 4m(n-1)$ $\forall s\in V$ (Startknoten).\\ \\ % \\ F"ur ein Netzwerk aus $1\Omega$ Widerst"anden gilt die \textit{commute time}: $c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei $R(u,v)$ den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\ % F"ur ein Netzwerk aus $1\Omega$ Widerst"anden gilt die \textit{commute time}: $c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei $R(u,v)$ den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\ \textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit $n$ Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$ % \textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit $n$ Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$ das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\ % das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\ ... ...
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