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Commit 1ab75605 authored by Theo von Arx's avatar Theo von Arx
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...@@ -15,8 +15,8 @@ ...@@ -15,8 +15,8 @@
% Part II % Part II
\input{chapters/queueing.tex} \input{chapters/queueing.tex}
\newpage \newpage
\input{chapters/online.tex} \vfill \null \columnbreak \input{chapters/online.tex}
% \vfill \null \columnbreak
\input{chapters/onlineAlg.tex} \input{chapters/onlineAlg.tex}
\newpage \newpage
......
...@@ -26,6 +26,37 @@ ...@@ -26,6 +26,37 @@
|A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B| |A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B|
\end{align*} \end{align*}
\subsection*{De Morgansche Regeln}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2} %<- modify value to suit your needs
\center
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\
\hline
2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\
\hline
Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\
\hline
Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\
\hline
Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline
Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\
\hline
Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\
\hline
Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\
\hline
Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\
\hline
Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\
\hline
Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\
\hline
De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
}
\section{Verschiedenes} \section{Verschiedenes}
\paragraph*{Palindrom} \paragraph*{Palindrom}
Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann. Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann.
...@@ -33,30 +64,3 @@ Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} ...@@ -33,30 +64,3 @@ Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \}
\paragraph*{DFA überprüfen} \paragraph*{DFA überprüfen}
Jeder FA braucht einen Start-State. \\ Jeder FA braucht einen Start-State. \\
DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet $\Sigma$ eindeutige Folgezustände. DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet $\Sigma$ eindeutige Folgezustände.
\paragraph*{De Morgansche Regeln}
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\
\hline
2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\
\hline
Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\
\hline
Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\
\hline
Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline
Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\
\hline
Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\
\hline
Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\
\hline
Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\
\hline
Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\
\hline
Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\
\hline
De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}\\\\\\
...@@ -158,17 +158,17 @@ Vorgehen: ...@@ -158,17 +158,17 @@ Vorgehen:
Korollar: PDA $\approx$ CFG Korollar: PDA $\approx$ CFG
\subsection{Kontext-sensitive Grammatiken} % \subsection{Kontext-sensitive Grammatiken}
Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings. % Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings.
\\ % \\
\begin{bsp} % \begin{bsp}
\hspace*{0pt}\\ % \hspace*{0pt}\\
\includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp} % \includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp}
\end{bsp} % \end{bsp}
\textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite $\leq$ Länge der rechten Seite. % \textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite $\leq$ Länge der rechten Seite.
\subsection{Tandem Pumping} \subsection{Tandem Pumping}
...@@ -191,19 +191,19 @@ In anderen Wort: Für alle $w \in L$ mit $|w| \geq p$ muss gelten: ...@@ -191,19 +191,19 @@ In anderen Wort: Für alle $w \in L$ mit $|w| \geq p$ muss gelten:
Falls keine solche Zahl $p$ existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei. Falls keine solche Zahl $p$ existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei.
\subsection{Transducers} % \subsection{Transducers}
\begin{fdef} % \begin{fdef}
Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist. % Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist.
\end{fdef} % \end{fdef}
\\ % \\
Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$ als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll) % Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$ als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll)
\\ % \\
\begin{bsp} % \begin{bsp}
\hspace*{0pt}\\ % \hspace*{0pt}\\
\includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers} % \includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers}
\end{bsp} % \end{bsp}
\subsection{Touring Maschine (TM)} \subsection{Touring Maschine (TM)}
......
...@@ -19,7 +19,7 @@ ...@@ -19,7 +19,7 @@
P(A \, | \, B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B \, | \, A)}{P(B)} P(A \, | \, B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B \, | \, A)}{P(B)}
\] \]
\paragraph*{Totale Wahrsheinlichkeit} \paragraph*{Totale Wahrscheinlichkeit}
Seien $A_1, \ldots, A_n$ paarweise disjunkte Ereignisse und $B \subseteq A_1 \cup \ldots \cup A_n$. Dann gilt Seien $A_1, \ldots, A_n$ paarweise disjunkte Ereignisse und $B \subseteq A_1 \cup \ldots \cup A_n$. Dann gilt
\[ \[
P(B) = \sum\limits_{j = 1}^n P(B \, | \, A_j) \cdot P(A_j) P(B) = \sum\limits_{j = 1}^n P(B \, | \, A_j) \cdot P(A_j)
...@@ -217,24 +217,24 @@ $ ...@@ -217,24 +217,24 @@ $
\subsection{Simple Random Walks} % \subsection{Simple Random Walks}
Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\ % Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\
Sei $G$ ein Graph mit $m$ Kanten. Die station"are Verteilung $\pi$ von einem random walk auf $G$ ist gegeben durch: % Sei $G$ ein Graph mit $m$ Kanten. Die station"are Verteilung $\pi$ von einem random walk auf $G$ ist gegeben durch:
\[\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m} \] % \[\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m} \]
Mit $\delta(u)$ Grad von $u$, respektiv die Anzahl Nachbarn. % Mit $\delta(u)$ Grad von $u$, respektiv die Anzahl Nachbarn.
\begin{itemize} % \begin{itemize}
\item Folglich gilt: $ h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$. % \item Folglich gilt: $ h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$.
\item Die \textbf{cover time} $\text{cov}(v)$ ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von $G$ besucht wurden. % \item Die \textbf{cover time} $\text{cov}(v)$ ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von $G$ besucht wurden.
\end{itemize} % \end{itemize}
Sei $G = (V,E)$ ein Graph mit $n$ Knoten und $m$ Kanten. Dann gilt $\text{cov}(s) < 4m(n-1)$ $\forall s\in V$ (Startknoten).\\ % Sei $G = (V,E)$ ein Graph mit $n$ Knoten und $m$ Kanten. Dann gilt $\text{cov}(s) < 4m(n-1)$ $\forall s\in V$ (Startknoten).\\
\\ % \\
F"ur ein Netzwerk aus $1\Omega$ Widerst"anden gilt die \textit{commute time}: $c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei $R(u,v)$ den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\ % F"ur ein Netzwerk aus $1\Omega$ Widerst"anden gilt die \textit{commute time}: $c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei $R(u,v)$ den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\
\textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit $n$ Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$ % \textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit $n$ Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$
das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\ % das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\
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