... ... @@ -26,6 +26,37 @@ |A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B| \end{align*} \subsection*{De Morgansche Regeln} {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} %<- modify value to suit your needs \center \begin{tabular}{|l|c|} \hline Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\ \hline 2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\ \hline Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\ \hline Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\ \hline Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\ \hline Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\ \hline Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\ \hline Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\ \hline Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\ \hline Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\ \hline De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular} } \section{Verschiedenes} \paragraph*{Palindrom} Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann. ... ... @@ -33,30 +64,3 @@ Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} \paragraph*{DFA überprüfen} Jeder FA braucht einen Start-State. \\ DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet$\Sigma$eindeutige Folgezustände. \paragraph*{De Morgansche Regeln} \begin{tabular}{|l|c|} \hline Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$\vee,\,+\,:=ODER$\\$\wedge,\,\cdot\,:=UND$\end{tabular} \\ \hline 2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$\\ \hline Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot B=B\cdot A$\\$A+B=B+A$\end{tabular} \\ \hline Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$\\$A+(B+C)=(A+B)+C$\end{tabular} \\ \hline Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$\\$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$\end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot A = A$\\$A+A=A$\end{tabular} \\ \hline Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$\end{tabular}\\ \hline Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot 1=A$,$A+0=A$\end{tabular} \\ \hline Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot 0=0$,$A+1=1$\end{tabular} \\ \hline Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$\end{tabular} \\ \hline Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$\end{tabular} \\ \hline De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c}$Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$\end{tabular} \\ \hline \end{tabular}\\\\\\  ... ... @@ -158,17 +158,17 @@ Vorgehen: Korollar: PDA$\approx$CFG \subsection{Kontext-sensitive Grammatiken} Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings. \\ % \subsection{Kontext-sensitive Grammatiken} % Es existiert eine noch allgemeinere Form von Grammatiken. Im Allgemeinen ist eine nicht kontext-freie Grammatik eine Grammatik die auf der linken Seite einer Regel nicht nur eine Variable zulässt, sondern auch mehrere Variablen und Variablen gemischt mit Terminalsubstrings. % \\ \begin{bsp} \hspace*{0pt}\\ \includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp} \end{bsp} % \begin{bsp} % \hspace*{0pt}\\ % \includegraphics[scale=0.34]{fig/cfg-csg-bsp} % \end{bsp} \textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite$\leq$Länge der rechten Seite. % \textbf{Kontext-sensitive Grammatiken} werden nicht kontext-freie Grammatiken genannt, deren Länge der linken Seite$\leq$Länge der rechten Seite. \subsection{Tandem Pumping} ... ... @@ -191,19 +191,19 @@ In anderen Wort: Für alle$w \in L$mit$|w| \geq p$muss gelten: Falls keine solche Zahl$p$existiert, so ist die Sprache nicht kontext-frei. \subsection{Transducers} \begin{fdef} Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist. \end{fdef} \\ % \subsection{Transducers} % \begin{fdef} % Ein endlicher Zustands-Transducer (FST) ist ein Type eines endliche Automaten, dessen Output ein String und nicht nur Akzeptieren oder Ablehnen ist. % \end{fdef} % \\ Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll) \\ % Bei einem Transducer werden jedem Übergang zwei Symbole angeschrieben, das erste für den Input und das zweite für den Output. ($\varepsilon$als Output bedeutet, das nichts ausgegeben werden soll) % \\ \begin{bsp} \hspace*{0pt}\\ \includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers} \end{bsp} % \begin{bsp} % \hspace*{0pt}\\ % \includegraphics[scale=0.5]{fig/cfg-transducers} % \end{bsp} \subsection{Touring Maschine (TM)} ... ...  ... ... @@ -19,7 +19,7 @@ P(A \, | \, B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P(B \, | \, A)}{P(B)} \] \paragraph*{Totale Wahrsheinlichkeit} \paragraph*{Totale Wahrscheinlichkeit} Seien$A_1, \ldots, A_n$paarweise disjunkte Ereignisse und$B \subseteq A_1 \cup \ldots \cup A_n$. Dann gilt $P(B) = \sum\limits_{j = 1}^n P(B \, | \, A_j) \cdot P(A_j) ... ... @@ -217,24 +217,24 @@ \subsection{Simple Random Walks} Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\ Sei G ein Graph mit m Kanten. Die station"are Verteilung \pi von einem random walk auf G ist gegeben durch: \[\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m}$ % \subsection{Simple Random Walks} % Wir betrachten nur \textit{simple} Random Walks (ungerichtet und ungewichtet).\\ % Sei$G$ein Graph mit$m$Kanten. Die station"are Verteilung$\pi$von einem random walk auf$G$ist gegeben durch: % $\pi_u = \frac{\delta(u)}{2m}$ Mit$\delta(u)$Grad von$u$, respektiv die Anzahl Nachbarn. \begin{itemize} \item Folglich gilt:$ h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$. \item Die \textbf{cover time}$\text{cov}(v)$ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von$G$besucht wurden. \end{itemize} % Mit$\delta(u)$Grad von$u$, respektiv die Anzahl Nachbarn. % \begin{itemize} % \item Folglich gilt:$ h_{u,u} = \frac{1}{\pi_u} = \frac{2m}{\delta(u)}$. % \item Die \textbf{cover time}$\text{cov}(v)$ist die erwartete Anzahl Schritte bis alle Knoten mindestens einmal von$G$besucht wurden. % \end{itemize} Sei$G = (V,E)$ein Graph mit$n$Knoten und$m$Kanten. Dann gilt$\text{cov}(s) < 4m(n-1)\forall s\in V$(Startknoten).\\ \\ % Sei$G = (V,E)$ein Graph mit$n$Knoten und$m$Kanten. Dann gilt$\text{cov}(s) < 4m(n-1)\forall s\in V$(Startknoten).\\ % \\ F"ur ein Netzwerk aus$1\Omega$Widerst"anden gilt die \textit{commute time}:$c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei$R(u,v)$den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\ % F"ur ein Netzwerk aus$1\Omega$Widerst"anden gilt die \textit{commute time}:$c_{u,v} = 2m \cdot R(u,v)$, wobei$R(u,v)$den effektiven Widerstand zwischen u und v ist.\\ \textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit$n$Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$ das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\ % \textbf{Foster's Theorem} besagt, dass f"ur alle verbundenen Graphen G = (V,E) mit$n\$ Knoten gilt: $$\sum \limits_{(u,v) \in E} R(u,v) = n-1$$ % das heisst hinzuf"ugen/entfernen von Kanten in G reduziert/erhöht den effektiven Widerstand entsprechend.\\ ... ...