Theo von Arx committed Jan 09, 2019 1 2 3 4 5 6 7 %! TEX root = DES.tex \section{Mathematik} \subsection{Spezielle Reihen} \begin{itemize} \item $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty aq^k=a+aq+aq^2+\ldots=\frac{a}{1-q}$ für $|q|<1$ \item $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)q^k=1+2q+3q^2+\ldots=\frac{1}{(1-q)^2}$ für $|q|<1$  Theo von Arx committed Feb 01, 2019 8  \item $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k q^k=\frac{q}{(1-q)^2}$ für $|q|<1$  Theo von Arx committed Jan 09, 2019 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29  \item $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots=\frac{\pi^2}{6}$ \item $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\ldots=e$ \end{itemize} \subsection{Spezielle Summen} \begin{itemize} \item $\displaystyle \sum_{k = 1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$ \item $\displaystyle \sum_{k = 1}^n i^2 = \frac{n (n + 1) (2n + 1)}{6}$ \item $\displaystyle \sum_{k = 0}^n q^i = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ \item $\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} \approx \ln(n) + \gamma$ \item $\displaystyle \sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix} a^{n - k} b^k = (a + b)^n$ \end{itemize} \subsection{Prinzip der Inklusion / Exklusion:} \begin{align*} | A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \\ |A \cup B| &= |A| + |B| - |A\cap B| \\ | A \cap B \cap C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cup B| - |A \cup C| - |B \cup C| + |A \cup B \cup C| \\ |A \cap B| &= |A| + |B| - |A\cup B| \end{align*}  Theo von Arx committed Feb 01, 2019 30 \subsection{De Morgansche Regeln}  Theo von Arx committed Jan 24, 2019 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60  {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} %<- modify value to suit your needs \center \begin{tabular}{|l|c|} \hline Symbole & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $\vee,\,+\,:=ODER$ \\ $\wedge,\,\cdot\,:=UND$ \end{tabular} \\ \hline 2-Fach Negation\dis{-0.2} & \dis{-0.3}$\overline{\overline{A}}=A$ \\ \hline Kommutativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot B=B\cdot A$ \\ $A+B=B+A$ \end{tabular} \\ \hline Assoziativ & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ \\ $A+(B+C)=(A+B)+C$ \end{tabular} \\ \hline Distributiv & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (B+C)=A\cdot B+ A\cdot C$ \\ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot(A+C)$ \end{tabular}\dis{-0.3} \\ \hline Idempotenz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot A = A$ \\ $A+A=A$ \end{tabular} \\ \hline Komplement & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot\overline{A}=0$\\$A+\overline{A}=1$ \end{tabular}\\ \hline Neutrale & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 1=A$, $A+0=A$ \end{tabular} \\ \hline Dominanz & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot 0=0$, $A+1=1$ \end{tabular} \\ \hline Absorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (A+B)=A$\\$A+(A\cdot B)=A$ \end{tabular} \\ \hline Adsorption & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $A\cdot (\overline{A}+B)=A\cdot B$\\$A+(\overline{A}\cdot B)=A+B$ \end{tabular} \\ \hline De Morgan & \dis{-0.3}\begin{tabular}{c} $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$\\$Z=A\cdot B=\overline{\overline{A}+\overline{B}}$\\$Z=\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$\\$Z=A+B=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}}$ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular} }  Theo von Arx committed Jan 09, 2019 61 62 63 64 65 66 67 \section{Verschiedenes} \paragraph*{Palindrom} Bsp: $\displaystyle L = \{ u \, | \, u \in \{ 0, 1\}^*$ und $u^{reverse} = u \} = \{u \, | \, ''u \text{ ist ein Palindrom}'' \}$. Daran denken, dass $|u| = odd$ sein kann. \paragraph*{DFA überprüfen} Jeder FA braucht einen Start-State. \\ DFAs haben für alle Buchstaben im Alphabet $\Sigma$ eindeutige Folgezustände.