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Kapitel 4 fertig

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......@@ -272,4 +272,98 @@ $g_c = \frac{1}{\gamma} (r - \rho)$
Der Haushalt spart (verzichtet auf Konsum), wenn Zins Ungeduld kompensieren kann
Starke Krümmung (hohes $\gamma$) Haushalte konsumieren gleichmässiger über die Zeit.
### Produktionsoptimum
$\Pi = p_y F(K, L) - rK - wL -\delta K$
- $\Pi$: Gewinn
- $ p_y$: Preis des Produkts
- $ F(K, L) = Y$ Anzahl Produkte ($F$ Produktionsfunktion)
- $r$: Zins
- $rK$: Potentieller Gewinn auf Kapitalmarkt (statt zu produzieren)
- $w$: Lohn (pro Arbeiter und Zeit)
- $wL$: Lohnkosten für die gesamte Unternehmung
- $\delta$: Abschreibungsrate
- $K$: Kapital
- $\delta K$: Abschreibungen
Im Optimum muss $\mathbf{grad}(\Pi) = \mathbf{0}$ oder
- $r = F_K - \delta \Leftrightarrow r = f_k - \delta$
- $w = F_L$
### Langfristiges Gleichgewicht
Setze $r = f_k - \delta$ in Keynes-Ramsey-Regel $g_c = \frac{1}{\gamma}(r - \rho)$ ein
und erhalte simultanes Optimum $g_c = \frac{1}{\gamma}(f_k - \delta - \rho)$
### Dynamik des Kapitalbestands
$\dot{k} = f(k) - c - \delta k$
$f(k) - c = sy$: Gespartes Einkommen
### Kein langfristiges Wachstum des Wirtschaft
Im steady state ($g_c = g_y = 0$) gilt
- $\dot{c} = 0 \Leftrightarrow \rho = f_k - \delta$
- $\dot{k} = 0 \Leftrightarrow f(k) = \delta k + c$
Das heisst, dass die Wirtschaft langfristig nicht wächst, weil …
- … irgendwann der Konsum alles Einkommen auffrisst, das nicht für den Kapitalerhalt gebraucht wird und
- … Der Zinssatz gerade der Diskontrate entspricht
### Vergleich mit Optimum im Solow-Modell
![Vergleich mit Solow-Modell](./VergleichMitSolowModell.png)
Optimaler Kapitalbestand (wo Konsum maximal) ist im Solow-Modell höher, da im Ramsey-Modell die Haushalte ungeduldig sein können
und weniger sparen.
## Wirtschaftswachstum bei _nicht_ erneuerbaren Ressourcen
### Hotellingregel
- $g_{p_R^n} = r$
- $p_R^n = p^R - c^R$: Ressourcenrente
- $p^R$: Erlöster Preis der Ressource
- $c^R$: Kosten für den Abbau einer zusätzlichen Rohstoffeinheit (marginale Extraktionskosten), hier $c^R := 0$
-Preispfad: $p_R = p_{R, 0} e^{rt} {}_{}$
### Nachhaltigkeit bei _nicht_ erneuerbaren Ressourcen
- strong sustainability: Abbau vereinbar mit NH, wenn mehr regenerative Ressource erzeugt werden, als
nicht-regenerative abgebaut werden
- weak sustainability: Abbau OK, wenn durch anderes Kapital kompensiert.
### Intuition für Hotellingregel
Unternehmen können entweder die Resssource heute Abbauen und die Gewinne auf dem Kapitalmarkt anlegen;
oder sie bauen erst in der Zukunft ab. Sie verlieren dadurch die Zinsen am Gewinn. Vielleicht sind aber die Rohstoffpreise
in der Zukunft höher und machen das wieder wett.
### Änderung des Hotelling-Preispfads 1
![](./Hotelling1.png)
### Änderung des Hotelling-Preispfads 2
![](./Hotelling2.png)
### Backstop-Ressource
Ressource, die zu konstanten Kosten pro zusätzlicher Einheit (marginale Kosten) in beliebiger Menge produziert werden kann.
Preisobergrenze für alle Ressourcen sind dann die marginalen Kosten der Backstop-Ressource.
### Optimaler Ressourceneinsatz
- Cobb-Douglas-Produktionsfunktion $Y = K^\alpha R ^{1-\alpha},\quad\alpha \in ]0, 1[$
- $g_Y = \alpha g_K + (1-\alpha)g_R = g_K + (1-\alpha)(\g_R - g_K)$
- $g_R < 0$: da Ressourcenextraktion über die Zeit sinkt --> Wachstum des Kapitalbestands muss Rückgang des Ressourceneinsatzes kompensieren
- Gewinn $\Pi = Y - rK - p_R R$
- Für Maximum setze Gradienten null und erhalte
- $p_R = \partial_R Y$
- $r = \partial_K Y = \alpha Y/K$
- $g_{p_R} = \alpha (g_K - g_R)$
### Hartwick-Regel
$g_Y = (s-(1-\alpha)) Y/K$
Für Nachhaltigkeit muss $g_Y = 0$, d.h. $s = 1-\alpha$
Wenn Harwickregel gilt, werden die gesamten Einnahmen aus dem Erlös der Ressource investiert.
## Wirtschaftswachstum bei erneuerbaren Ressourcen
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