Kapitel 4 fertig

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@@ -272,4 +272,98 @@ $g_c = \frac{1}{\gamma} (r - \rho)$
 Der Haushalt spart (verzichtet auf Konsum), wenn Zins Ungeduld kompensieren kann
 Starke Krümmung (hohes $\gamma$) Haushalte konsumieren gleichmässiger über die Zeit.
 
+### Produktionsoptimum
+$\Pi = p_y F(K, L) - rK - wL -\delta K$
+
+- $\Pi$: Gewinn
+- $ p_y$: Preis des Produkts
+- $ F(K, L) = Y$ Anzahl Produkte ($F$ Produktionsfunktion)
+- $r$: Zins
+- $rK$: Potentieller Gewinn auf Kapitalmarkt (statt zu produzieren)
+- $w$: Lohn (pro Arbeiter und Zeit)
+- $wL$: Lohnkosten für die gesamte Unternehmung
+- $\delta$: Abschreibungsrate
+- $K$: Kapital
+- $\delta K$: Abschreibungen
+
+Im Optimum muss $\mathbf{grad}(\Pi) = \mathbf{0}$ oder
+
+- $r = F_K - \delta \Leftrightarrow r = f_k - \delta$
+- $w = F_L$
+
+
+### Langfristiges Gleichgewicht
+Setze $r = f_k - \delta$ in Keynes-Ramsey-Regel $g_c = \frac{1}{\gamma}(r - \rho)$ ein
+und erhalte simultanes Optimum $g_c = \frac{1}{\gamma}(f_k - \delta - \rho)$
+
+
+### Dynamik des Kapitalbestands
+$\dot{k} = f(k) - c - \delta k$
+$f(k) - c = sy$: Gespartes Einkommen
+
+### Kein langfristiges Wachstum des Wirtschaft
+Im steady state ($g_c = g_y = 0$) gilt 
+
+- $\dot{c} = 0 \Leftrightarrow \rho = f_k - \delta$
+- $\dot{k} = 0 \Leftrightarrow f(k) = \delta k + c$
+
+Das heisst, dass die Wirtschaft langfristig nicht wächst, weil …
+- … irgendwann der Konsum alles Einkommen auffrisst, das nicht für den Kapitalerhalt gebraucht wird und
+- … Der Zinssatz gerade der Diskontrate entspricht
+
+
+### Vergleich mit Optimum im Solow-Modell
+![Vergleich mit Solow-Modell](./VergleichMitSolowModell.png)
+
+Optimaler Kapitalbestand (wo Konsum maximal) ist im Solow-Modell höher, da im Ramsey-Modell die Haushalte ungeduldig sein können
+und weniger sparen.
+
+## Wirtschaftswachstum bei _nicht_ erneuerbaren Ressourcen
+
+### Hotellingregel
+- $g_{p_R^n} = r$
+- $p_R^n = p^R - c^R$: Ressourcenrente
+- $p^R$: Erlöster Preis der Ressource
+- $c^R$: Kosten für den Abbau einer zusätzlichen Rohstoffeinheit (marginale Extraktionskosten), hier $c^R := 0$
+-Preispfad: $p_R = p_{R, 0} e^{rt} {}_{}$
+
+### Nachhaltigkeit bei _nicht_ erneuerbaren Ressourcen
+- strong sustainability: Abbau vereinbar mit NH, wenn mehr regenerative Ressource erzeugt werden, als
+nicht-regenerative abgebaut werden
+- weak sustainability: Abbau OK, wenn durch anderes Kapital kompensiert.
+
+### Intuition für Hotellingregel
+Unternehmen können entweder die Resssource heute Abbauen und die Gewinne auf dem Kapitalmarkt anlegen;
+oder sie bauen erst in der Zukunft ab. Sie verlieren dadurch die Zinsen am Gewinn. Vielleicht sind aber die Rohstoffpreise
+in der Zukunft höher und machen das wieder wett.
+
+
+### Änderung des Hotelling-Preispfads 1
+![](./Hotelling1.png)
+
+
+### Änderung des Hotelling-Preispfads 2
+![](./Hotelling2.png)
+
+### Backstop-Ressource
+Ressource, die zu konstanten Kosten pro zusätzlicher Einheit (marginale Kosten) in beliebiger Menge produziert werden kann.
+Preisobergrenze für alle Ressourcen sind dann die marginalen Kosten der Backstop-Ressource.
+
+### Optimaler Ressourceneinsatz
+- Cobb-Douglas-Produktionsfunktion $Y = K^\alpha R ^{1-\alpha},\quad\alpha \in ]0, 1[$
+- $g_Y = \alpha g_K + (1-\alpha)g_R = g_K + (1-\alpha)(\g_R - g_K)$
+- $g_R < 0$: da Ressourcenextraktion über die Zeit sinkt --> Wachstum des Kapitalbestands muss Rückgang des Ressourceneinsatzes kompensieren
+- Gewinn $\Pi = Y - rK - p_R R$
+- Für Maximum setze Gradienten null und erhalte
+    - $p_R = \partial_R Y$
+    - $r = \partial_K Y = \alpha Y/K$
+    - $g_{p_R} = \alpha (g_K - g_R)$
+
+### Hartwick-Regel
+$g_Y = (s-(1-\alpha)) Y/K$
+Für Nachhaltigkeit muss $g_Y = 0$, d.h. $s = 1-\alpha$
+Wenn Harwickregel gilt, werden die gesamten Einnahmen aus dem Erlös der Ressource investiert.
+
+
+## Wirtschaftswachstum bei erneuerbaren Ressourcen
 

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